Question

19．如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形AEFD為梯形，F(xiàn)D∥EA，F(xiàn)D⊥平面ABCD，F(xiàn)D=2EA=2AD．
（Ⅰ）證明：平面EFC⊥平面DCE；
（Ⅱ）求直線CE與平面BDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面垂直的判定可證EF⊥平面DCE，即可證明平面EFC⊥平面DCE；
（II）建立坐標(biāo)系，利用向量法求直線CE與平面BDE所成角的正弦值．

解答 （I）證明：由已知：FD⊥平面ABCD，∴FD⊥CD．
∵CD⊥AD，AD∩FD=D，
∴CD⊥平面AEFD，∴EF⊥CD，
設(shè)FD=2EA=2AD=2，∴DE=EF=$\sqrt{2}$，
∴DF²=DE²+EF²，
∴EF⊥ED，
∵CD∩ED=D，∴EF⊥平面DCE，
∵EF?平面EFC，
∴平面EFC⊥平面DCE；
（Ⅱ）解：以DA，DF，DC為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)AD=1，則D（0，0，0），B（1，0，1），E（1，1，0），C（0，0，1），
∴$\overrightarrow{CE}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DB}$=（1，0，1），$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴直線CE與平面BDE所成角的正弦值=|$\frac{1-1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$|=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面、面面垂直的判定，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．