Question

8．在圓x²+y²-2x-6y=15內，過點E（0，1）的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則|AC|•|BD|的值為（　�。�

• A． $80\sqrt{5}$
• B． $60\sqrt{5}$
• C． $40\sqrt{5}$
• D． $20\sqrt{5}$

Answer 1

分析 把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標與圓的半徑，根據圖形可知，過點E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦BD，根據兩點間的距離公式求出ME的長度，根據垂徑定理得到E為BD的中點，在直角三角形BME中，根據勾股定理求出BE，則BD=2BE，即可求出AC與BD的乘積．

解答 解：把圓的方程化為標準方程得：（x-1）²+（y-3）²=25，
則圓心坐標為（1，3），半徑為5，
根據題意畫出圖象，如圖所示：
由圖象可知：過點E最長的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，則AC=10，MB=5，ME=$\sqrt{5}$，
所以BD=2BE=2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$，
所以|AC|•|BD|=10•4$\sqrt{5}$=40$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 此題考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．