Question

20．利用數(shù)學歸納法證明不等式：
$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 數(shù)學歸納法的步驟：①證明n=1時A式成立②然后假設(shè)當n=k時，A式成立③證明當n=k+1時，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數(shù)n都成立．

解答 證明：（1）當n=1時，左邊=$\frac{1}{2}$，右邊=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，左邊＜右邊，不等式成立，
（2）∵4n²-1＜4n²，即（2n+1）（2n-1）＜（2n）²．即$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{2n}{2n+1}$，
∴$\frac{\sqrt{2k+1}}{\sqrt{2k+2}}$＜$\frac{\sqrt{2k+2}}{\sqrt{2k+3}}$，
∴$\frac{\sqrt{2k+1}}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$，
假設(shè)當n=k時，原式成立，即$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×…×$\frac{2k-1}{2k}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
那么當n=k+1時，即$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×…×$\frac{2k-1}{2k}$×$\frac{2k+1}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$=$\frac{\sqrt{2k+1}}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$，
即n=k+1時結(jié)論成立．
根據(jù)（1）和（2）可知不等式對任意正整數(shù)n都成立．

點評 本題考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．