Question

13．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}（x∈R）$，若用[m]表示不超過實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)，則函數(shù)$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$的值域?yàn)閧0，1}．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$]，從而分類討論以確定函數(shù)的值，從而解得．

解答 解：$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$
=[$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$-$\frac{1}{2}$]+[$\frac{{2}^{-x}}{1+{2}^{-x}}$+$\frac{1}{2}$]
=[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$]+[$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$]，
∵0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，
∴-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
①當(dāng)0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$時(shí)，
0＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$＜1，
故y=0；
②當(dāng)$\frac{1}{1+{2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，
$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$=0，$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$=1，
故y=1；
③$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1時(shí)，
-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜0，1＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{2}$，
故y=-1+1=0；
故函數(shù)$y=[f（x）-\frac{1}{2}]+[f（-x）+\frac{1}{2}]$的值域?yàn)閧0，1}．
故答案為：{0，1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及分類討論的思想應(yīng)用．