Question

18．（1）若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），求實(shí)數(shù)x的值；
（2）已知z的共軛復(fù)數(shù)為$\overline z$，且${（{z+\overline z}）^2}$$-3z\overline z•i=4-12i$（i為虛數(shù)單位），求復(fù)數(shù)z．

Answer 1

分析 （1）由于（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1=0}\\{{x}^{2}+3x+2≠0}\end{array}\right.$，解得x．
（2）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}$=a-bi．根據(jù)${（{z+\overline z}）^2}$$-3z\overline z•i=4-12i$（i為虛數(shù)單位），可得4a²-3（a²+b²）i=4-12i．利用復(fù)數(shù)相等即可得出．

解答 解：（1）∵（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1=0}\\{{x}^{2}+3x+2≠0}\end{array}\right.$，解得x=1．
（2）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），則$\overline{z}$=a-bi．
∵${（{z+\overline z}）^2}$$-3z\overline z•i=4-12i$（i為虛數(shù)單位），
∴4a²-3（a²+b²）i=4-12i．
∴4a²=4，-3（a²+b²）=-12．
解得a=±1，b=$±\sqrt{3}$．
∴z=±1$±\sqrt{3}$i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了純虛數(shù)的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．