Question

3．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁作傾斜角為$\frac{π}{6}$的弦AB．求：
（1）AB的長；
（2）△F₂AB的周長．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點(diǎn)的距離公式求出|AB|．
（2）求出A，B的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離，即可得到△F₂AB的周長．

解答 解：（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程可設(shè)為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），代入方程x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得，8x²-4x-13=0，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2}$，x₁x₂=-$\frac{13}{8}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{\frac{1}{4}-4•（-\frac{13}{8}）}$=3；
（2）由于F₂（2，0），A（$\frac{1+3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3+3\sqrt{3}}{4}$），B（$\frac{1-3\sqrt{3}}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{4}$），
則△F₂AB的周長為|AB|+|AF₂|+|BF₂|=3+$\frac{3\sqrt{3}-1}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}+1}{4}$=3+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．解決直線與圓錐曲線的弦長問題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式．