Question

12．如圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（c，0），當(dāng)$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{FB}$時(shí)，由b²=ac得其離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，在“黃金雙曲線”$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}-\frac{y^2}{{{b_1}^2}}$=1中，由b₁²=a₁c₁（c₁為黃金雙曲線的半焦距）可推出“黃金雙曲線”的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{7}-1}}{2}$

Answer 1

分析 利用b₁²=a₁c₁，可得關(guān)于離心率的方程，即可求出“黃金雙曲線”的離心率．

解答 解：∵${b_1}^2={a_1}{c_1}$，∴${c_1}^2-{a_1}^2={a_1}{c_1}$，
∴$\frac{{{c_1}^2}}{{{a_1}^2}}-1=\frac{c_1}{a_1}∴{e^2}-e-1=0$，
∴$e=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查“黃金雙曲線”的離心率，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．