Question

1．已知圓的方程為x²+y²=$\frac{7}{4}$，設(shè)過點(diǎn)M（0，1）的直線分別與該圓交于點(diǎn)A、B，若|AM|=3|MB|，則直線AB的斜率為$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立直線與圓的方程可得x=$\frac{-2k±\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，由|AM|=3|MB|可得：$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，或$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，解方程可得答案．

解答 解：設(shè)過點(diǎn)M（0，1）的直線方程為：y=kx+1，
代入圓的方程x²+y²=$\frac{7}{4}$整理得：（k²+1）x²+2kx-$\frac{3}{4}$=0，
解得：x=$\frac{-2k±\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，
∵|AM|=3|MB|，
∴$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，或$\frac{-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$=-3×$\frac{-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}}{2（{k}^{2}+1）}$，
即$-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}$=-3×（$-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}$），或$-2k+\sqrt{7{k}^{2}+3}$=-3×（$-2k-\sqrt{7{k}^{2}+3}$），
即8k=2$\sqrt{7{k}^{2}+3}$，或8k=-2$\sqrt{7{k}^{2}+3}$，
解得：k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$±\frac{\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．