【題目】如圖,已知橢圓C: (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,若橢圓C經(jīng)過點(0,),離心率為,直線l過點F2與橢圓C交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點N為△F1AF2的內(nèi)心(三角形三條內(nèi)角平分線的交點),求△F1NF2與△F1AF2面積的比值;
(3)設(shè)點A,F(xiàn)2,B在直線x=4上的射影依次為點D,G, E.連結(jié)AE,BD,試問當(dāng)直線l的傾斜角變化時,直線AE與BD是否相交于定點T?若是,請求出定點T的坐標(biāo);若不是,請說明理由.
【答案】(1) (2) (3)見解析.
【解析】分析:(1)由題可得b=,=,結(jié)合橢圓可得橢圓方程;(2)因為點N為△F1AF2的內(nèi)心,所以點N為△F1AF2的內(nèi)切圓的圓心,然后結(jié)合內(nèi)切圓的半徑表示三角形的面積可得面積比值;(3)分直線斜率不存在和斜率存在時兩種情況進(jìn)行討論,連立方程結(jié)合韋達(dá)定理求出AE方程得到定點再驗證其在BD上即可得到結(jié)論.
解:(1)由題意,b=,又因為=,所以=,解得a=2,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)因為點N為△F1AF2的內(nèi)心,
所以點N為△F1AF2的內(nèi)切圓的圓心,設(shè)該圓的半徑為r.
則====.
(3)若直線l的斜率不存在時,四邊形ABED是矩形,
此時AE與BD交于F2G的中點(,0),
下面證明:當(dāng)直線l的傾斜角變化時,直線AE與BD相交于定點T(,0).
設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
化簡得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
因為直線l經(jīng)過橢圓C內(nèi)的點(1,0),所以△>0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.
由題意,D(4,y1),E(4,y2),
直線AE的方程為y-y2= (x-4),
令x=,此時y=y(tǒng)2+×(-4)=
=
=
=
=
===0,
所以點T(,0)在直線AE上,
同理可證,點T(,0)在直線BD上.
所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時,直線AE與BD相交于定點T(,0).
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【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù)),且,若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個負(fù)整數(shù),則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù),則下列判斷正確的是( )
A.為奇函數(shù)
B.對任意,,則有
C.對任意,則有
D.若函數(shù)有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是
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【題目】已知函數(shù),其最小正周期為 .
(1)求 的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后,再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù) 的圖象,若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上有解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在中,,分別為,的中點,,如圖1.以為折痕將折起,使點到達(dá)點的位置,如圖2.
如圖1 如圖2
(1)證明:平面平面;
(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值。
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【題目】2018年8月18日,舉世矚目的第18屆亞運會在印尼首都雅加達(dá)舉行,為了豐富亞運會志愿者的業(yè)余生活,同時鼓勵更多的有志青年加入志愿者行列,大會主辦方?jīng)Q定對150名志愿者組織一次有關(guān)體育運動的知識競賽(滿分120分)并計劃對成績前15名的志愿者進(jìn)行獎勵,現(xiàn)將所有志愿者的競賽成績制成頻率分布直方圖,如圖所示,若第三組與第五組的頻數(shù)之和是第二組的頻數(shù)的3倍,試回答以下問題:
(1)求圖中的值;
(2)求志愿者知識競賽的平均成績;
(3)從受獎勵的15人中按成績利用分層抽樣抽取5人,再從抽取的5人中,隨機抽取2人在主會場服務(wù),求抽取的這2人中其中一人成績在分的概率.
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【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計劃在AC和BD路邊各修建一個物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)
Ⅰ為減少對周邊區(qū)域的影響,試確定E,F的位置,使與的面積之和最。
Ⅱ為節(jié)省建設(shè)成本,求使的值最小時AE和BF的值.
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【題目】已知等比數(shù)列的各項為正數(shù),且.
(1)求的通項公式;
(2)設(shè),求證數(shù)列的前項和<2.
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