10.已知無窮數(shù)列{an}滿足:a1=2015-1,an2-2an+2an-1=0,(n≥2).
(Ⅰ)試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性,并說明理由;
(Ⅱ)求證:(i)0≤an≤$\frac{1}{2}$;
(ii)$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015.

分析 (Ⅰ)數(shù)列{an}單調(diào)遞增.由an-an-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$>0,即可得到結(jié)論;
(Ⅱ)(i)運用配方,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性,即可得證;
(ii)由$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$,n≥2.運用裂項相消求和和不等式的性質(zhì),即可得證.

解答 解:(Ⅰ)數(shù)列{an}單調(diào)遞增.
理由如下:由an2-2an+2an-1=0,可得
an-an-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$>0(n≥2),
即為an>an-1,則數(shù)列{an}單調(diào)遞增;
(Ⅱ)(i)證明:由上面可得an≥a1=$\frac{1}{2015}$>0,
又an2-2an+2an-1=0,即為(an-1)2=1-2an-1,
即有(an+1-1)2=1-2an≥0,即an≤$\frac{1}{2}$,
即有0≤an≤$\frac{1}{2}$;
(ii)$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$
=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$,n≥2.
即有原式=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+($\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$)+($\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$)+…+($\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$)
=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2015+$\frac{{a}_{n}-(2-{a}_{1})}{(2-{a}_{1}){a}_{n}}$,
由1<2-a1<2,0≤an≤$\frac{1}{2}$,
可得an-(2-a1)<0,即有2015+$\frac{{a}_{n}-(2-{a}_{1})}{(2-{a}_{1}){a}_{n}}$<2015.
則$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015.

點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運用,注意運用單調(diào)性的定義,考查不等式的證明,注意運用裂項相消求和和不等式的性質(zhì),屬于難題.

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