Question

10．已知無窮數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2015^-1，a_n²-2a_n+2a_n-1=0，（n≥2）．
（Ⅰ）試判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅱ）求證：（i）0≤a_n≤$\frac{1}{2}$；
（ii）$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015．

Answer 1

分析 （Ⅰ）數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．由a_n-a_n-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$＞0，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）（i）運用配方，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可得證；
（ii）由$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，n≥2．運用裂項相消求和和不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增．
理由如下：由a_n²-2a_n+2a_n-1=0，可得
a_n-a_n-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2}$＞0（n≥2），
即為a_n＞a_n-1，則數(shù)列{a_n}單調(diào)遞增；
（Ⅱ）（i）證明：由上面可得a_n≥a₁=$\frac{1}{2015}$＞0，
又a_n²-2a_n+2a_n-1=0，即為（a_n-1）²=1-2a_n-1，
即有（a_n+1-1）²=1-2a_n≥0，即a_n≤$\frac{1}{2}$，
即有0≤a_n≤$\frac{1}{2}$；
（ii）$\frac{1}{2-{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n-1}}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$
=$\frac{2{a}_{n}-2{a}_{n-1}}{2{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，n≥2．
即有原式=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+（$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2015+$\frac{{a}_{n}-（2-{a}_{1}）}{（2-{a}_{1}）{a}_{n}}$，
由1＜2-a₁＜2，0≤a_n≤$\frac{1}{2}$，
可得a_n-（2-a₁）＜0，即有2015+$\frac{{a}_{n}-（2-{a}_{1}）}{（2-{a}_{1}）{a}_{n}}$＜2015．
則$\frac{1}{2-{a}_{1}}$+$\frac{1}{2-{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{2-{a}_{n}}$≤2015．

點評 本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運用，注意運用單調(diào)性的定義，考查不等式的證明，注意運用裂項相消求和和不等式的性質(zhì)，屬于難題．