Question

8．半徑為1的球的內(nèi)部有4個(gè)大小相同的半徑為r的小球，則小球半徑r可能的最大值為$\sqrt{6}$-2．

Answer 1

分析 由題意，四個(gè)小球兩兩相切并且四個(gè)小球都與大球相切時(shí)，這些小球的半徑最大，以四個(gè)小球球心為頂點(diǎn)的正四面體棱長(zhǎng)為2r，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面體的外接球半徑，即可求得結(jié)論．

解答 解：由題意，四個(gè)小球兩兩相切并且四個(gè)小球都與大球相切時(shí)，這些小球的半徑最大．
以四個(gè)小球球心為頂點(diǎn)的正四面體棱長(zhǎng)為2r，該正四面體的中心（外接球球心）就是大球的球心，
該正四面體的高為$\sqrt{4{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}r}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$r，
設(shè)正四面體的外接球半徑為x，則x²=（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$r-x）²+（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$r）²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，
∴1=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r+r，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$=$\sqrt{6}$-2．
故答案為：$\sqrt{6}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)、線、面距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定四個(gè)小球兩兩相切并且四個(gè)小球都與大球相切時(shí)，這些小球的半徑最大是關(guān)鍵．