Question

16．2016年里約奧運(yùn)會(huì)在巴西里約舉行，為了接待來(lái)自國(guó)內(nèi)外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不僅要有一定的氣質(zhì)，還需有豐富的人文、地理、歷史等文化知識(shí)．志愿者的選拔分面試和知識(shí)問(wèn)答兩場(chǎng)，先是面試，面試通過(guò)后每人積60分，然后進(jìn)入知識(shí)問(wèn)答．知識(shí)問(wèn)答有A，B，C，D四個(gè)題目，答題者必須按A，B，C，D順序依次進(jìn)行，答對(duì)A，B，C，D四題分別得20分、20分、40分、60分，每答錯(cuò)一道題扣20分，總得分在面試60分的基礎(chǔ)上加或減．答題時(shí)每人總分達(dá)到100分或100分以上，直接錄用不再繼續(xù)答題；當(dāng)四道題答完總分不足100分時(shí)不予錄用． 假設(shè)志愿者甲面試已通過(guò)且第二輪對(duì)A，B，C，D四個(gè)題回答正確的概率依次是$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響．
（Ⅰ） 用X表示志愿者甲在知識(shí)問(wèn)答結(jié)束時(shí)答題的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期 望；
（Ⅱ）求志愿者甲能被錄用的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 設(shè)某題M答對(duì)記為“M”，答錯(cuò)記為“$\overline{M}$”，X的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅱ）由互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出志愿者甲能被錄用的概率．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)某題M答對(duì)記為“M”，答錯(cuò)記為“$\overline{M}$”
X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=P（AB）=$\frac{1}{4}$，
P（X=3）=P（$\overline{A}BC+A\overline{B}C$）=$\frac{1}{6}$，
P（X=4）=1-P（X=2）-P（X=3）=$\frac{7}{12}$，
X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{12}$

EX=$2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{6}+4×\frac{7}{12}$=$\frac{10}{3}$．（6分）
（Ⅱ） 志愿者甲能被錄用的概率
P=P（AB+$\overline{A}BC$+$A\overline{B}C$+$\overline{A}\overline{B}CD$+$\overline{A}B\overline{C}D$+A$\overline{B}\overline{C}$D）
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}××\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$
=$\frac{25}{48}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．