Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD底面ABCD為平行四邊形，且AC∩BD=O，PA=PC，PB⊥BD，平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅰ）求證PB⊥面ABCD；
（Ⅱ）若△PAC為正三角形，∠BAD=60°，且四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，求側(cè)面△PCD的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥PB，PB⊥BD，利用線面垂直的判定定理證明PB⊥面ABCD；
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，連接PE，可知PE⊥CD，求出CD，PE，即可求側(cè)面△PCD的面積．

解答 （I）證明：由于四邊形ABCD為平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)；
連接PO，∵PA=PC，∴AC⊥PO---（1分）
∵平面PBD⊥平面PAC，
又∵平面PBD∩平面PAC=PO，AC?平面PAC，
∴AC⊥面PBD，∴AC⊥PB-----（4分）
又∵PB⊥BD，且AC∩BD=O，AC、BD?面ABCD，∴PB⊥面ABCD-----（6分）
（II）解：由（I）知AC⊥面PBD，所以AC⊥BD，可知底面ABCD為菱形；
設(shè)AB=BC=a，又因?yàn)椤螧AD=60°，所以BD=a，$AC=\sqrt{3}a$
因?yàn)椤鱌AC為正三角形，所以$PC=\sqrt{3}a$-----（7分）
由（I）知PB⊥BC，從而△PBC為直角三角形，∴$PB=\sqrt{2}a$-----（8分）
${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}|{PB}|=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}\sqrt{3}{a^2}\sqrt{2}a=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$解得：a=1---（9分）
所以$PC=\sqrt{3}$、CD=1、$PB=\sqrt{2}$
所以$PD=\sqrt{P{B^2}+B{D^2}}=\sqrt{3}$-----（10分）
取CD的中點(diǎn)E，連接PE，可知PE⊥CD，
$PE=\sqrt{P{C^2}-C{E^2}}=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$，
所以${S_{PCD}}=\frac{1}{2}CD•PE=\frac{{\sqrt{11}}}{4}$-（12分）

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．