Question

7．已知函數(shù)f（x）對實數(shù)x∈R滿足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若當x∈[0，1）時，f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1），f（$\frac{3}{2}$）=1-$\sqrt{2}$．
（1）求x∈[-1，1]時，f（x）的解析式；
（2）求方程f（x）-|log₄x|=0的實數(shù)解的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+f（-x）=0得出函數(shù)為奇函數(shù)，f（0）=0，即b=-1，進而求出a=2，根據(jù)條件f（x-1）=f（x+1），求出分段函數(shù)的解析式；
（2）由f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），可得出f（x+2）=f（x），函數(shù)為周期函數(shù)，故只需在一個周期內(nèi)研究函數(shù)交點即可．

解答 解：（1）∵f（x）+f（-x）=0，
∴f（0）=0，即b=-1
$又∵f（x-1）=f（x+1），f（\frac{3}{2}）=1-\sqrt{2}$，
∴$f（\frac{3}{2}）=f（-\frac{1}{2}）=-f（\frac{1}{2}）=1-\sqrt{a=}1-\sqrt{2}$
∴a=2
∴當x∈[0，1）時，f（x）=2^x-1
∴當x∈（-1，0]時，-x∈[0，1），
∴f（-x）=2^-x-1，
∴f（x）=-f（-x）=1-2^-x
∵f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1）
∴f（1）=f（-1）=0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{2^{-x}}，x∈（{-1，0}]\\ 0，x=-1或1\\{2^x}-1，x∈[{0，1}）\end{array}\right.$
（2）∵f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)，且以2為周期
方程f（x）-|log₄x|=0的實數(shù)解的個數(shù)也就是函數(shù)y=f（x）和y=|log₄x|的交點的個數(shù)．
在同一直角坐標系中作出這倆個函數(shù)的圖象，由圖象得交點個數(shù)為2，
所以方程的實數(shù)解的個數(shù)為2．

點評 考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)解析式的求法和圖象法的應用．