Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，θ∈[0，2π]]．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求tanθ的值；
（Ⅱ）若f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系進行求解即可．
（Ⅱ）利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
則x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2=x²-4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，
則sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0，
∵θ∈[0，2π]，
∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ，
即θ=-$\frac{π}{3}$+kπ，
∴tanθ=tan（-$\frac{π}{3}$+kπ）=-$\sqrt{3}$．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+4[sin（θ+$\frac{π}{3}$）]x-2，θ∈[0，2π]]．
∴對稱軸為x=-2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
若f（x）在[-$\sqrt{3}$，1]上是單調(diào)函數(shù)，
則-2sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥1或-2sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤$-\sqrt{3}$，
即sin（θ+$\frac{π}{3}$）≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤$-\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{3}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，或2kπ+$\frac{7π}{6}$≤θ+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
即2kπ+$\frac{5π}{6}$≤θ≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，或2kπ≤θ≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∵θ∈[0，2π]，
∴$\frac{5π}{6}$≤θ≤$\frac{3π}{2}$，或0≤θ≤$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性應用以及三角函數(shù)的恒等變換，利用條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．