Question

2．已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊長(zhǎng)，b和c是關(guān)于x的方程x²-9x+25cosA=0的兩個(gè)根（b＞c），且$（{sinB+sinC+sinA}）（{sinB+sinC-sinA}）=\frac{18}{5}sinBsinC$，則△ABC的形狀為（　�。�

• A． 等腰三角形
• B． 銳角三角形
• C． 直角三角形
• D． 鈍角三角形

Answer 1

分析 由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=$\frac{18}{5}$sinBsinC，利用正弦定理可得b²+c²-a²=$\frac{8}{5}$bc，進(jìn)而利用余弦定理求cosA，從而可求sinA的值，由方程x²-9x+25cosA=0，可得x²-9x+20=0，從而b，c，利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=9，可求得a，直接判斷三角形的形狀即可．

解答 （本題滿分為12分）
解：由已知：（sinB+sinC+sinA）（sinB+sinC-sinA）=$\frac{18}{5}$sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sin²A=$\frac{8}{5}$sinBsinC，
由正弦定理：∴b²+c²-a²=$\frac{8}{5}$bc，…（2分）
由余弦定理cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，…（3分）
∴sinA=$\frac{3}{5}$，…（4分）
又∵由（1）方程x²-9x+25cosA=0即x²-9x+20=0，則b=5，c=4，…（6分）
∴a²=b²+c²-2bccosA=9，∴a=3，…（8分）
∴b²=c²+a²，三角形是直角三角形…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以三角函數(shù)為載體，考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、三角形的面積公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．