Question

3．已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為8，其前n項(xiàng)和記為S_n，且S₃-2S₂=-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=2{log_{\frac{3}{2}}}（\frac{3}{16}{a_n}）+1$，其前n項(xiàng)和為T(mén)_n，試求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{T_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和B_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)設(shè)a_n=8q^n-1（q＞1），代入S₃-2S₂=-2計(jì)算可知公比q=$\frac{3}{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n=2n+1，利用等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式計(jì)算可知T_n=n（n+2），進(jìn)而裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，a_n=8q^n-1（q＞1），
∵S₃-2S₂=-2，即（8+8q+8q²）-2（8+8q）=-2，
∴4q²-4q-3=0，
解得：q=$\frac{3}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=8•$（\frac{3}{2}）^{n-1}$；
（2）由（1）可知${b_n}=2{log_{\frac{3}{2}}}（\frac{3}{16}{a_n}）+1$=2$lo{g}_{\frac{3}{2}}[\frac{3}{16}•8•（\frac{3}{2}）^{n-1}]$+1=2n+1，
故數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2•$\frac{n（n+1）}{2}$+n=n（n+2），
∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴B_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．