Question

11．設(shè)0≤x≤2，y=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$-3•2^x+5，試求該函數(shù)的最值．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得t=2^x∈[1，4]，運(yùn)用配方可得y=$\frac{1}{2}$t²-3t+5=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{1}{2}$，由對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，計(jì)算即可得到最值．

解答 解：0≤x≤2，即有t=2^x∈[1，4]，
即有函數(shù)y=$\frac{1}{2}$t²-3t+5=$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{1}{2}$，
對(duì)稱軸t=3，由于3∈[1，4]，
即有t=3，即x=log₂3，函數(shù)取得最小值$\frac{1}{2}$；
當(dāng)t=1，即x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．