Question

【題目】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個(gè)分組取中間值作代表）；

（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機(jī)抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進(jìn)行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當(dāng)最大時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1），平均年齡；（2）分布列見解析，；（3）.

【解析】

（1）由頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，求出的值，再將所有矩形底邊中點(diǎn)值乘以矩形面積，再將所得的數(shù)相加即可得出該社區(qū)年國慶活動的居民的平均年齡；

（2）先根據(jù)分層抽樣得知，所抽取的人中，年齡在的抽取人、年齡在的抽取人，可得出隨機(jī)變量的可能取值為、、，并利用古典概型的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量分別取、、時(shí)的概率，列出隨機(jī)變量的分布列，并利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

（3）設(shè)年齡在的人數(shù)為，可知，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得出，分析出數(shù)列的單調(diào)性，可求出的最大值及對應(yīng)的的值.

（1）由頻率分布直方圖知，解得，

所以該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡為

；

（2）年齡在的人數(shù)為，年齡在的人數(shù)為.

根據(jù)分層抽樣，可知年齡在的抽取人、年齡在的抽取人.

所以的可能取值為0，1，2，且，，，

所以的分布列為

所以；

（3）由題可知年齡在內(nèi)的頻率為.

設(shè)年齡在的人數(shù)為，所以.

.

設(shè)，

由得，此時(shí)；由得，此時(shí).

所以當(dāng)時(shí)，最大.