Question

3．定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx
（1）求當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）在[-π，π]上的函數(shù)簡圖；
（3）求當f（x）≥$\frac{1}{2}$時，x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先取x∈[-$\frac{π}{2}$，0]得到-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，把-x代入時的解析式，結合偶函數(shù)的概念可求得；
（2）作出函數(shù)在[-π，0]上的圖象，根據(jù)偶函數(shù)圖象關于y軸軸對稱得到函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（3）先求出[-π，0]上滿足f（x）≥$\frac{1}{2}$時的x的取值范圍，根據(jù)函數(shù)是以π為周期的周期函數(shù)，把得到的區(qū)間端點值加上π的整數(shù)倍得到要求解的區(qū)間．

解答 （1）因為f（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）
而當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）=sinx，
所以x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，-x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
f（x）=f（-x）=sin（-x）=-sinx．
所以當x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，f（x）=-sinx，
（2）函數(shù)圖象如圖，

（3）由于f（x）的最小正周期為π，
因此先在[-π，0]上來研究f（x）≥$\frac{1}{2}$時，即-sinx≥$\frac{1}{2}$．
所以sinx≤$-\frac{1}{2}$．所以-$\frac{5π}{6}$≤x≤-$\frac{π}{6}$，．
由周期性知，當f（x）≥$\frac{1}{2}$時，x∈[-$\frac{5π}{6}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．
所以，當f（x）≥$\frac{1}{2}$時，x的取值范圍是[-$\frac{5π}{6}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]（k∈Z）．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了三角函數(shù)的周期及圖象，考查了三角函數(shù)的奇偶性，解答此題的關鍵是，通過周期變換和平移變換、把要求解解析式的范圍內的變量轉化到已知解析式的范圍內，此題是中檔題．