Question

5．以下四個命題：
①若函數(shù)y=e^x-mx（x∈R）有大于零的極值點，則實數(shù)m＞1；
②若拋物線x²=4y上一點M到焦點的距離為3，則點M到x軸的距離為2；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，則$\frac{a}$的值為-2或-$\frac{2}{3}$．
其中真命題的序號為①②③（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)的關系進行判斷．
②根據(jù)拋物線的定義進行轉化判斷．
③根據(jù)一元二次方程與橢圓和雙曲線的離心率進行判斷．
④根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)的關系求出a，b的關系進行判斷．

解答 解：①∵y=e^x-mx，∴y'=e^x-m．
若y=e^x-mx（x∈R）有大于零的極值點，則等價為y′=e^x-m=0有大于0的實根，
即m=e^x有大于0的實根，∵x＞0，∴e^x＞1．∴m＞1．故①正確，
②若拋物線x²=4y上一點M到焦點（0，1）的距離為3，則點M到準線y=-1的距離也是3，則x軸的距離為3-1=2；故②正確，
③方程2x²-5x+2=0的兩根$\frac{1}{2}$和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故④正確，
④∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
當a=-2，b=1時，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
當$\frac{1}{3}$＜x＜1時，f′（x）＜0，當x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；
當a=-6，b=9時，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當x＜1時，f′（x）＞0，當＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值，符合題意；
則$\frac{a}$=-$\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$，故④錯誤，
故正確的是①②③，
故答案為：①②③

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的極值和導數(shù)的關系，橢圓，雙曲線和拋物線的定義和性質，涉及的知識點較多，綜合性較強，有一定的難度．