Question

20．如圖所示，已知在五棱錐P-ABCDE底面ABCDE為凸五邊形，AE=DC=2，AB=BC=3，DE=1，∠EAB=∠BCD=∠CDE=∠DEA=120°，F(xiàn)為AE上的點，且AF=$\frac{3}{2}$，平面PAE與底面ABCDE垂直．
求證：（1）BC∥平面PAE；（2）PA⊥FC．

Answer 1

分析 （1）欲證明BC∥平面PAE，只需推知BC∥AE即可；
（2）只需推知CF⊥平面PAE，即可證得PA⊥FC．

解答 證明：（1）如圖，凸五邊形ABCDE，延長AE、CD交于點H．
∵∠AED=∠EDC=120°，
∴∠HED=∠HDE=60°，∴△HED為等邊三角形，
∠H=60°．
∴∠H+∠BCD=60°+120°=180°，
∴BC∥AE．
又∵AE?平面PAE，BC?平面PAE，
∴BC∥平面PAE；
（2）如圖，連結AC．
∵△HED是等邊三角形，
∴HE=HD=ED=1，
∴HC=HA=3．
又∵∠H=60°，
∴△HAC為等邊三角形．
又∵AF=$\frac{1}{2}$AH，
∴CF⊥AE．
∵平面PAE⊥平面ABCDE，平面PAE∩平面ABCDE=AE，CF?平面ABCDE，
∴CF⊥平面PAE．
又∵PA?平面PAE，
∴PA⊥FC．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角的求法，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．