Question

17．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，M為CD的中點(diǎn)，BD⊥PM．
（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）若∠APD=90°，四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求三棱錐A-PBM的高．

Answer 1

分析 （1）由題意取AD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，AC，證明PE⊥AD，BD⊥PE，再由線面垂直的判定證得PE⊥平面ABCD，最后由面面垂直的判定得答案；
（2）利用四棱錐P-ABCD的體積為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求出$PA=PD=\sqrt{2}$，AD=2，利用V_A-PBM=V_P-ABM，求三棱錐A-PBM的高．

解答 （1）證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，EM，AC．
∵PA=PD，∴PE⊥AD．
∵底面ABCD為菱形，∴BD⊥AC，
又EM∥AC，∴EM⊥BD．
又BD⊥PM，∴BD⊥平面PEM，
則BD⊥PE，∴PE⊥平面ABCD．
又PE?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（6分）
（2）解：設(shè)PA=PD=a，由∠APD=90°，可得$AD=\sqrt{2}a$，$PE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，${S_{ABCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{（\sqrt{2}a）^2}×2=\sqrt{3}{a^2}$．
由（1）可知PE⊥平面ABCD，則V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×PE×{S_{ABCD}}$=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}a×\sqrt{3}{a^2}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}{a^3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴${a^3}=2\sqrt{2}$，則$PA=PD=\sqrt{2}$，AD=2．（8分）
可得PE=1，$BE=EM=BM=\sqrt{3}$，PB=PM=2．
∴${S_{△PBM}}=\frac{{\sqrt{39}}}{4}$，${S_{△ABM}}=\sqrt{3}$．
設(shè)三棱錐A-PBM的高為h，則由V_A-PBM=V_P-ABM可得$\frac{1}{3}×h×{S_{△PBM}}=\frac{1}{3}×PE×{S_{△ABM}}$．
即$h=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{39}}}{4}}}=\frac{{4\sqrt{13}}}{13}$．
∴三棱錐A-PBM的高為$\frac{{4\sqrt{13}}}{13}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了棱錐體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．