【題目】如圖，在一旅游區(qū)內(nèi)原有兩條互相垂直且相交于點O的道路l1，l2，一自然景觀的邊界近似為圓形，其半徑約為1千米，景觀的中心C到l1，l2的距離相等，點C到點O的距離約為10千米.現(xiàn)擬新建四條游覽道路方便游客參觀，具體方案：在線段OC上取一點P，新建一條道路OP，并過點P新建兩條與圓C相切的道路PM，PN（M，N為切點），同時過點P新建一條與OP垂直的道路AB（A，B分別在l1，l2上）.為促進沿途旅游經(jīng)濟，新建道路長度之和越大越好，求新建道路長度之和的最大值.（所有道路寬度忽略不計）

【答案】千米

【解析】

設PCM＝，用表示出各道路長，并求出和.然后求導，用導數(shù)知識求得最大值．

解：連接CM，設PCM＝，則PC＝，PM＝PN＝tan，

OP＝OC﹣PC＝10﹣，AB＝2OP＝20﹣，

設新建的道路長度之和為，

則，

由1＜PC≤10得≤＜1，設，(0，)，

則(0，]，，，令得

設，(0，]，，，的情況如下表：

(0，)

(，)

＋

0

－

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

由表可知時有極大值也是最大值，此時，，，

.

答：新建道路長度之和的最大值為千米.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，且與的圖象有一條斜率為1的公切線（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求；

（2）設函數(shù)，證明：當時，有且僅有2個零點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正四棱錐的側棱和底面邊長相等，在這個正四棱錐的條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量的值：

若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大�。ɑ《戎疲�

若這兩條棱所在的直線平行，則；

若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制).

（1）求的值；

（2）求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的離心率，左焦點為，右頂點為，過點的直線交橢圓于兩點，若直線垂直于軸時，有.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線： 上兩點， 關于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況，對該公司2019年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應的折線圖，如圖所示：

（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤(單位：百萬元)與月份代碼之間的關系，求關于的線性回歸方程，并預測該公司2020年4月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購一批新型材料，現(xiàn)有A，B兩種型號的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用4個月，但新材料的不穩(wěn)定性會導致材料的使用壽命不同，現(xiàn)對A，B兩種型號的新型材料對應的產(chǎn)品各100件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：

經(jīng)甲公司測算平均每件新型材料每月可以帶來6萬元收人入，不考慮除采購成本之外的其他成本，A型號材料每件的采購成本為10萬元，B型號材料每件的采購成本為12萬元.假設每件新型材料的使用壽命都是整月數(shù)，且以頻率作為每件新型材料使用壽命的概率，如果你是甲公司的負責人，以每件新型材料產(chǎn)生利潤的平均值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：，.

參考公式：回歸直線方程，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年4月25日-27日，北京召開第二屆“一帶一路”國際高峰論壇，組委會要從6個國內(nèi)媒體團和3個國外媒體團中選出3個媒體團進行提問，要求這三個媒體團中既有國內(nèi)媒體團又有國外媒體團，且國內(nèi)媒體團不能連續(xù)提問，則不同的提問方式的種數(shù)為 ( )

A. 198B. 268C. 306D. 378

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為弘揚新時代的中國女排精神.甲、乙兩個女排校隊舉行一場友誼比賽，采用五局三勝制（即某隊先贏三局則獲勝，比賽隨即結束）.若兩隊的競技水平和比賽狀態(tài)相當，且每局比賽相互獨立，則比賽結束時已經(jīng)進行的比賽局數(shù)的數(shù)學期望是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為邊長為2的菱形，平面，，，為棱上一點，且.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】根據(jù)某地區(qū)氣象水文部門長期統(tǒng)計，可知該地區(qū)每年夏季有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.05.

（1）從該地區(qū)抽取的年水文資料中發(fā)現(xiàn)，恰好3年無洪水事件的概率與恰好4年有洪水事件的概率相等，求的值；

（2）今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失20000元.為保護設備，有以下3種方案：

方案1：修建保護圍墻，建設費為3000元，但圍墻只能防小洪水.

方案2：修建保護大壩，建設費為7000元，能夠防大洪水.

方案3：不采取措施.

試比較哪一種方案好，請說明理由.

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