8．求證：${C}_{n}^{0}$+2${C}_{n}^{1}$+3${C}_{n}^{2}$+…+（n+1）${C}_{n}^{n}$=2n+n•2n-1．

分析 利用組合數(shù)階乘形式的公式得到kCnk=nCn-1k-1；將原式變成（Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn）+n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1），再利用二項式系數(shù)的和即可求解

解答 證明：∵kCnk=nCn-1k-1
∴${C}_{n}^{0}$+2${C}_{n}^{1}$+3${C}_{n}^{2}$+…+（n+1）${C}_{n}^{n}$=（Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn）+n（Cn-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13+…+Cn-1n-1）
=2n+n•2n-1
等式成立．

點評 本題考查組合數(shù)的公式性質(zhì)：kCkn=nCk-1n-1；考查二項式系數(shù)和公式，屬于基礎(chǔ)題．

練習冊系列答案
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