Question

4．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程p²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，曲線C₁經(jīng)過坐標(biāo)變換$\left\{{\begin{array}{l}{x=2x'}\\{y=\sqrt{3}y'}\end{array}}$得到曲線C₂，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)，t∈R）
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若P為曲線C₂上的點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由坐標(biāo)變換求出曲線C₂的方程為x'²+y'²=1，求出圓心C₂到直線l的距離，由此能求出點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}$（t為參數(shù)，t∈R），
消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為：x-y-2=0…（2分）
∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ²=$\frac{12}{3co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ}$，
∴3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為：3x²+4y²=12，即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）∵曲線C₁經(jīng)過坐標(biāo)變換$\left\{{\begin{array}{l}{x=2x'}\\{y=\sqrt{3}y'}\end{array}}$得到曲線C₂，
∴由題意知，曲線C₂的方程為x'²+y'²=1，其圓心C₂（0，0），半徑r=1…（8分）
∴圓心C₂（0，0）到直線l：x-y-2=0的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$…（10分）
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為$d+1=\sqrt{2}+1$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線l的普通方程和曲線C₁的直角坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)P到直線l的距離的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程互化公式的合理運(yùn)用．