Question

1．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結(jié)論：
（1）AC⊥BD           （2）AB與平面BCD成60°的角
（3）△ACD是等邊三角形 （4）AB與CD所成的角為60°
正確結(jié)論的編號是①③④．

Answer 1

分析 取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．?從而得到BD⊥AC；AB與平面BCD成45°的角；設(shè)正方形邊長為a，則AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．從而AC=a；以E為坐標原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸建立直角坐標系，利用向量法得到AB與CD所成的角為60°．

解答 解：在①中：取BD的中點E，則AE⊥BD，CE⊥BD．?
∴BD⊥面AEC，∴BD⊥AC，故①正確；
在②中：∵AE⊥平面BCD，∠ABD為AB與面BCD所成的角，
∵AE=BE，∴∠ABD=45°，∴AB與平面BCD成45°的角，故②不正確；
在③中：設(shè)正方形邊長為a，
則AD=DC=a，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=EC．∴AC=a．?
∴△ACD為等邊三角形，故③正確；?
 在④中：以E為坐標原點，EC、ED、EA分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，?
則A（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0）．??
$\overrightarrow{AB}$=（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{DC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0）．
cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\frac{1}{2}a}{a×a}$=$\frac{1}{2}$．?
∴＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，∴AB與CD所成的角為60°，故④正確．
∴真命題為①③④．?

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．