Question

8．已知函數(shù)$f（x）=x•ln\frac{a}{x}\;\;（a＞0）$．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）=e^x在x=0處的切線也是函數(shù)f（x）圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象恒在直線x-y+1=0的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈（$\frac{a}{e}$，$\frac{a}{2}$），且x₁≠x₂，判斷${（{{x_1}+{x_2}}）^4}$與a²x₁x₂的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
注：題目中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（0），g（0），得到切線方程，從而求出a的值；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$xln\frac{a}{x}-x-1＜0$對(duì)于x＞0恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性得到f（x₁）＞f（x₁+x₂），整理變形即可．

解答 解：（Ⅰ）g′（x）=e^x，g（x）在x=0處切線斜率k=g′（0）=1，切線l：y=x+1，
又$f'（x）=ln\frac{a}{x}-1$，設(shè)l與f（x）相切時(shí)的切點(diǎn)為$（{x_0}，{x_0}ln\frac{a}{x_0}）$，
則斜率$k=f'（{x_0}）=ln\frac{a}{x_0}-1$，
則切線l的方程又可表示為$y=（ln\frac{a}{x_0}-1）（x-{x_0}）+{x_0}ln\;\frac{a}{x_0}=（ln\frac{a}{x_0}-1）x+{x_0}$，
由$\left\{\begin{array}{l}ln\frac{a}{x_0}-1=1\\{x_0}=1\end{array}\right.$解之得a=e²；
（Ⅱ）由題f（x）-x-1＜0對(duì)于x＞0恒成立，
即$xln\frac{a}{x}-x-1＜0$對(duì)于x＞0恒成立，
令$h（x）=xln\frac{a}{x}-x-1$，則$h'（x）=ln\frac{a}{x}-2$，由h'（x）=0得x=$\frac{a}{{e}^{2}}$，

x	（0，$\frac{a}{{e}^{2}}$）	$\frac{a}{{e}^{2}}$	（$\frac{a}{{e}^{2}}$，+∞）
h'（x）	+	0	-
h（x）	↗	極大值	↘

則當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）_max=h（$\frac{a}{{e}^{2}}$）=$\frac{a}{{e}^{2}}$-1，
由$\frac{a}{{e}^{2}}$-1＜0，得：0＜a＜e²，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，e²）；
（Ⅲ）${（{{x_1}+{x_2}}）^4}$＞a²x₁x₂，理由如下：
由題$f'（x）=ln\frac{a}{x}\;\;\;-1$，由f'（x）=0得x=$\frac{a}{e}$，
當(dāng)$\frac{a}{e}$＜x＜a時(shí)，f′（x）＜0，$f（x）=xln\frac{a}{x}\;\;（a＞0）$單調(diào)遞減，
因?yàn)閤₁＜x₁+x₂＜a，所以f（x₁）＞f（x₁+x₂），
即${x_1}ln\frac{a}{x_1}\;\;＞（{x_1}+{x_2}）ln\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}$，
所以$ln\frac{a}{x_1}\;\;＞\frac{{{x_1}+{x_2}}}{x_1}ln\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}$，①
同理$ln\frac{a}{x_2}\;\;＞\frac{{{x_1}+{x_2}}}{x_2}ln\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}$，②
①+②得$ln\frac{a}{x_1}+ln\frac{a}{x_2}\;\;＞（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{x_1}+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{x_2}）ln\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}$，
因?yàn)?\frac{{{x_1}+{x_2}}}{x_1}+\frac{{{x_1}+{x_2}}}{x_2}=2+\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}≥4$，
由x₁+x₂＜a得$\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}＞1$，即$ln\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}＞0$，
所以$ln\frac{a}{x_1}+ln\frac{a}{x_2}\;\;＞4ln\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}$，即$\frac{a^2}{{{x_1}{x_2}}}\;\;＞{（\frac{a}{{{x_1}+{x_2}}}）^4}$，
所以${（{x_1}+{x_2}）^4}$＞a²x₁x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道綜合題．