Question

3．已知f（x）=e^x-x-1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求證：f（x）≥0恒成立；
（2）求證：（$\frac{1}{2n}$）ⁿ+（$\frac{3}{2n}$）ⁿ+（$\frac{5}{2n}$）ⁿ+…+（$\frac{2n-1}{2n}$）ⁿ＜$\frac{\sqrt{e}}{e-1}$對一切正整數(shù)n均成立．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）的最小值，從而證出結(jié)論；
（2）根據(jù)不等式1+x≤e^x恒成立，得到0＜1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，其中i=1，2，3…2n-1，求和即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0．
∴f（x）在區(qū)間（-∞，）]上為減函數(shù)，在[0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在R上的最小值為f（0）=0，因此f（x）≥0恒成立；
（2）由（1）知，不等式1+x≤e^x恒成立，
所以對任意正整數(shù)n有，0＜1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，其中i=1，2，3…2n-1，
即對任意正整數(shù)n有，0＜${（\frac{2n-i}{2n}）}^{n}$≤${e}^{-\frac{i}{2}}$，其中i=1，2，3，…，2n-1，
∴（$\frac{1}{2n}$）ⁿ+（$\frac{3}{2n}$）ⁿ+（$\frac{5}{2n}$）ⁿ+…+（$\frac{2n-1}{2n}$）ⁿ
＜${e}^{-\frac{2n-1}{2}}$+${e}^{-\frac{2n-3}{2}}$+…+${e}^{-\frac{1}{2}}$
=$\frac{{e}^{-\frac{1}{2}}（1{-e}^{-n}）}{1{-e}^{-1}}$＜$\frac{{e}^{-\frac{1}{2}}}{1{-e}^{-1}}$=$\frac{\sqrt{e}}{e-1}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明即可．