Question

15．已知 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}+5x}{6}，0≤x≤3}\\{10-2x，3＜x≤5}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)m，n∈[0，5]，且m＜n使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域?yàn)閇m，n]，則這樣的實(shí)數(shù)對(duì)（m，n）共有（　�。�

• A． 1對(duì)
• B． 2對(duì)
• C． 3對(duì)
• D． 4對(duì)

Answer 1

分析 作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}+5x}{6}，0≤x≤3}\\{10-2x，3＜x≤5}\end{array}\right.$的圖象，分類討論以確定函數(shù)的定義域與值域，從而解得．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}+5x}{6}，0≤x≤3}\\{10-2x，3＜x≤5}\end{array}\right.$的圖象如右圖，
①當(dāng)0≤m＜n≤3時(shí)，f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x}{6}$在區(qū)間[m，n]單調(diào)遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}+5m}{6}=m}\\{\frac{{n}^{2}+5n}{6}=n}\end{array}\right.$；
解得，m=0，n=1；
②當(dāng)3≤m＜n≤5時(shí)，f（x）=10-2x在[m，n]單調(diào)遞減，則
$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=n}\\{f（n）=m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{10-2m=n}\\{10-2n=m}\end{array}\right.$，
解得，m=n=$\frac{10}{3}$（舍）；
③當(dāng)0≤m＜3＜n＜5時(shí)，可知函數(shù)的最大值為f（3）=4=n，
從而可得函數(shù)的定義域及值域?yàn)閇m，4]，而f（4）=2，
（i）當(dāng)m=2時(shí)，定義域[2，4]，f（2）=$\frac{7}{3}$＞f（4）=2，故值域?yàn)閇2，4]符合題意；
（ii）當(dāng)m＜2時(shí)，f（m）=$\frac{{m}^{2}+5m}{6}$=m可得m=1，n=4，或m=0，n=4；符合題意；
綜上可得符合題意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．