Question

18．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸的一個端點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，則雙曲線C的離心率（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 利用右焦點(diǎn)為F（c，0），點(diǎn)B（0，b），線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，確定A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，化簡可求雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)A（x，y），
∵右焦點(diǎn)為F（c，0），點(diǎn)B（0，b），線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{AF}$，
∴x=$\frac{2c}{3}$，y=$\frac{3}$，
代入雙曲線方程，可得$\frac{4}{9}×\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{9}$=1
∴e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查向量知識的運(yùn)用，考查雙曲線的離心率，利用向量知識確定A的坐標(biāo)是關(guān)鍵．