Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦點，l₁，l₂為雙曲線的兩條漸近線．設(shè)過點M（b，0）且平行于l₁的直線交l₂于點P．若PF₁⊥PF₂，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{14-2\sqrt{41}}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14+2\sqrt{41}}}{2}$

Answer 1

分析 通過聯(lián)立雙曲線的漸近線為：y=$\frac{a}$x，直線PM的方程為：y=-$\frac{a}$（x-b），求出P的坐標，再利用PF₁⊥PF₂，建立方程，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：根據(jù)題意可得F₁（-c，0）、F₂（c，0），
雙曲線的漸近線為：y=$\frac{a}$x，直線PM的方程為：y=-$\frac{a}$（x-b），
聯(lián)立，可得x=$\frac{2}$，
∴P（$\frac{2}$，$\frac{^{2}}{2a}$）
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（$\frac{2}$+c，$\frac{^{2}}{2a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（$\frac{2}$-c，$\frac{^{2}}{2a}$）
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
∴（$\frac{2}$+c，$\frac{^{2}}{2a}$）•（$\frac{2}$-c，$\frac{^{2}}{2a}$）=0
∴$\frac{^{2}}{4}-{c}^{2}+\frac{^{4}}{4{a}^{2}}$=0
∴b²=4a²，
∴c²=5a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故選：B．

點評 本題考查求雙曲線的離心率，考查計算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．