Question

7．一中食堂有一個(gè)面食窗口，假設(shè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，對(duì)以往學(xué)生買飯所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

買飯時(shí)間（分）	1	2	3	4	5
頻率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

從第一個(gè)學(xué)生開始買飯時(shí)計(jì)時(shí)．
（Ⅰ）估計(jì)第三個(gè)學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率；
（Ⅱ）X表示至第2分鐘末已買完飯的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)Y表示學(xué)生買飯所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，求出Y的分布列，由此能估計(jì)第三個(gè)學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)Y表示學(xué)生買飯所需的時(shí)間，用頻率估計(jì)概率，得Y的分布列如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

（1）A表示事件“第三個(gè)學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯”，則事件A對(duì)應(yīng)三種情形：
①第一個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間為1分鐘，且第二個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間為3分鐘；
②第一個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間為3分鐘，且第二個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間為1分鐘；
③第一個(gè)和第二個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間均為2分鐘．
所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．
（Ⅱ）X所有可能的取值為0，1，2，
X=0對(duì)應(yīng)第一個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間超過2分鐘，
所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5，
X=1對(duì)應(yīng)第一個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間超過1分鐘，或第一個(gè)學(xué)生買飯所需的時(shí)間為2分鐘．
所以P（X=1）=P（Y=1）P（Y＞1）+P（Y=2）=0.1×0.9+0.4=0.49，
X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)學(xué)生買飯所需時(shí)間均為1分鐘，
所以P（X=2）=P（Y=1）P（Y=1）=0.1×0.1=0.01，
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率分布列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．