Question

15．1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星，衛(wèi)星運(yùn)行的軌道是橢圓，F(xiàn)₁、F₂是其焦點(diǎn)，地球中心為焦點(diǎn)F₁，設(shè)地球半徑為m，已知橢圓軌道的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面$\frac{m}{3}$，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面3m，并且F₁、A、B在同一直線上，求衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程．

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{m}{3}=a-c}\\{m+3m=a+c}\end{array}\right.$，b²=a²-c²．解出即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{m}{3}=a-c}\\{m+3m=a+c}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{8m}{3}$，c=$\frac{4m}{3}$，
∴b²=a²-c²=$\frac{48{m}^{2}}{9}$．
∴衛(wèi)星運(yùn)行的軌道方程為：$\frac{9{x}^{2}}{64{m}^{2}}$+$\frac{9{y}^{2}}{48{m}^{2}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．