Question

4．如圖，將矩形紙片ABCD（其中$AB=\sqrt{3}$，BC=1）沿對(duì)角線AC折起后，使得異面直線BC⊥AD，則此時(shí)異面直線AB和CD所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)矩形紙片ABCD折起前B點(diǎn)為B₁，連結(jié)BB₁，DB₁，由已知條件推導(dǎo)出BC⊥BD，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥B₁C，從而求出BB₁，由DC∥AB₁，得∠BAB₁是異面直線AB和CD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此利用余弦定理能求出異面直線AB和CD所成的角的余弦值．

解答 解：設(shè)矩形紙片ABCD折起前B點(diǎn)為B₁，連結(jié)BB₁，DB₁，
∵BC⊥AD，BC⊥AB，AB∩AD=A，
∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥BD，
∵$AB=\sqrt{3}$，BC=1，∴BD=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，∴BD⊥B₁C，
∵BB₁∩BC=B，∴BD⊥BB₁，
∴BB₁=$\sqrt{{B}_{1}{D}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1+3-2}$=$\sqrt{2}$，
∵DC∥AB₁，∴∠BAB₁是異面直線AB和CD所成的角（或所成角的補(bǔ)角），
cos∠BAB₁=$\frac{A{B}^{2}+A{{B}_{1}}^{2}-B{{B}_{1}}^{2}}{2AB•A{B}_{1}}$=$\frac{3+3-2}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$．
∴異面直線AB和CD所成的角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線AB和CD所成的角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)和余弦定理的合理運(yùn)用．