Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），A、B是其長軸的兩個(gè)端點(diǎn)．
（1）過一個(gè)焦點(diǎn)F作垂直于長軸的弦PP′，求證：不論a、b如何變化，∠APB≠120°．
（2）如果橢圓上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使∠AQB=120°，求C的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，把x=c代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得P$（c，\frac{^{2}}{a}）$．利用斜率計(jì)算公式及其“到角公式”可得：tan∠APB=$\frac{{k}_{PB}-{k}_{PA}}{1+{k}_{PB}{k}_{PA}}$，即可證明；（2）設(shè)Q（x₀，y₀），（0＜y₀≤b），則${x}_{0}^{2}$=${a}^{2}（1-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}）$．可得tan120°=$\frac{{k}_{QB}-{k}_{QA}}{1+{k}_{QB}•{k}_{QA}}$，化為y₀=$\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$，0＜$\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$≤b，化簡即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，
把x=c代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得$y=±\frac{^{2}}{a}$，P$（c，\frac{^{2}}{a}）$．
可得：k_PA=$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c-（-a）}$=$\frac{^{2}}{a（c+a）}$，
k_PB=$\frac{\frac{^{2}}{a}-0}{c-a}$=$\frac{^{2}}{a（c-a）}$，
∴tan∠APB=$\frac{\frac{^{2}}{a（c-a）}-\frac{^{2}}{a（c+a）}}{1+\frac{^{2}}{a（c-a）}•\frac{^{2}}{a（c+a）}}$=-$\frac{2{a}^{2}}{{c}^{2}}$＜-2，
因此∠APB≠120°．
（2）解：設(shè)Q（x₀，y₀），（0＜y₀≤b），則${x}_{0}^{2}$=${a}^{2}（1-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}）$．
tan120°=$\frac{{k}_{QB}-{k}_{QA}}{1+{k}_{QB}•{k}_{QA}}$=$\frac{\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}-\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}{1+\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}}$=$\frac{2a{y}_{0}}{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2a{y}_{0}}{{a}^{2}（1-\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}）+{y}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{2a^{2}}{{y}_{0}（^{2}-{a}^{2}）}$=-$\sqrt{3}$，
∴y₀=$\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$，
∴0＜$\frac{2a^{2}}{\sqrt{3}{c}^{2}}$≤b，
化為3e⁴+4e²-4≥0，0＜e＜1，
解得$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜e＜1．
∴C的離心率e的取值范圍是$（\frac{\sqrt{6}}{3}，1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、“到角公式”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．