Question

10．設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，證明：$\frac{1}{ab+2{c}^{2}+2c}$+$\frac{1}{bc+2{a}^{2}+2a}$+$\frac{1}{ca+2^{2}+2b}$≥$\frac{1}{ab+bc+ca}$．

Answer 1

分析 首先證明$\frac{ab+bc+ca}{ab+2{c}^{2}+2c}$≥$\frac{ab}{ab+bc+ca}$，①展開后，由2abc（a+b+c）=2abc，由均值不等式可得b²c²+c²a²≥2abc²，可得；$\frac{ab+bc+ca}{bc+2{a}^{2}+2a}$≥$\frac{bc}{ab+bc+ca}$，②，$\frac{ab+bc+ca}{ca+2^{2}+2b}$≥$\frac{ca}{ab+bc+ca}$，③，由累加法即可得證．

解答 證明：首先證明$\frac{ab+bc+ca}{ab+2{c}^{2}+2c}$≥$\frac{ab}{ab+bc+ca}$，①
事實(shí)上，上述不等式等價(jià)為
a²b²+b²c²+c²a²+2abc（a+b+c）≥a²b²+2abc²+2abc，
由已知可得2abc（a+b+c）=2abc，
由均值不等式可得b²c²+c²a²≥2abc²，
故上述不等式成立．
同理可得$\frac{ab+bc+ca}{bc+2{a}^{2}+2a}$≥$\frac{bc}{ab+bc+ca}$，②
$\frac{ab+bc+ca}{ca+2^{2}+2b}$≥$\frac{ca}{ab+bc+ca}$，③
①+②+③，可得$\frac{ab+bc+ca}{ab+2{c}^{2}+2c}$+$\frac{ab+bc+ca}{bc+2{a}^{2}+2a}$+$\frac{ab+bc+ca}{ca+2^{2}+2b}$≥1，
即有$\frac{1}{ab+2{c}^{2}+2c}$+$\frac{1}{bc+2{a}^{2}+2a}$+$\frac{1}{ca+2^{2}+2b}$≥$\frac{1}{ab+bc+ca}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和累加法，考查推理能力，是難題．