Question

7．已知函數(shù)f（x）=（1-k）x+$\frac{m}{x}$+2，其中k，m∈R，且m≠0．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）k如何取值時(shí)，方程f（x）=0有解，并求出方程的解．

Answer 1

分析 （1）由題意得，x≠0，從而寫出定義域即可；
（2）分類討論首先確定函數(shù)是對(duì)勾函數(shù)還是反比例函數(shù)，當(dāng)是對(duì)勾函數(shù)時(shí)再討論即可．

解答 解：（1）由題意得，x≠0，
故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（2）（i）當(dāng)1-k=0，即k=1時(shí)，方程f（x）=0的解為x=-$\frac{2}{m}$；
（ii）當(dāng)k≠1時(shí)，方程f（x）=0可化為
$\frac{（1-k）{x}^{2}+2x+m}{x}$=0，
∵m≠0，
∴原方程可化為（1-k）x²+2x+m=0，
∴①當(dāng)△=4-4（1-k）m＜0，即（1-k）m＞1時(shí)，
方程f（x）=0無解，
②當(dāng)△=4-4（1-k）m=0，即（1-k）m=1時(shí)，
方程f（x）=0有且只有一個(gè)解x=-$\frac{1}{1-k}$=$\frac{1}{k-1}$；
③當(dāng)△=4-4（1-k）m＞0，即（1-k）m＜1時(shí)，
方程f（x）=0有兩個(gè)解，x=$\frac{1±\sqrt{1-（1-k）m}}{k-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域的求法及分類討論的思想應(yīng)用．