Question

12．雙曲線C與橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦點(diǎn)，拋物線E：y²=4x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線l₁：x-y+2=0．直線l₂過(guò)橢圓D的右頂點(diǎn)B且與l₁平行，若直線l₂交拋物線于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN的面積；
（3）在雙曲線C上求一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)Q（$\frac{3}{2}$，0）的距離最短．并求出最短距離．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，求得拋物線的準(zhǔn)線可得a=1，b=1，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（2）l₂：y=x-2，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到所求面積；
（3）設(shè)P（m，n），即有m²-n²=1，可得|PQ|=$\sqrt{（m-\frac{3}{2}）^{2}+{n}^{2}}$，運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：（1）橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1有相同的焦點(diǎn)為（±$\sqrt{2}$，0），
設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
可得a²+b²=1，
拋物線E：y²=4x的準(zhǔn)線x=-1過(guò)雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)，
可得a=1，b=1，
則雙曲線的方程為x²-y²=1；
（2）由題意可得B（2，0），
l₂：y=x-2，代入拋物線的方程可得x²-8x+4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=8，x₁x₂=4，
即有|MN|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{64-16}$=4$\sqrt{6}$，
O到直線l2的距離為d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有△OMN的面積為S=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$•4$\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$；
（3）設(shè)P（m，n），即有m²-n²=1，
可得|PQ|=$\sqrt{（m-\frac{3}{2}）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}-3m+\frac{9}{4}+{m}^{2}-1}$
=$\sqrt{2{m}^{2}-3m+\frac{5}{4}}$=$\sqrt{2（m-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{1}{8}}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{4}$時(shí)，|PQ|取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐曲線的方程和性質(zhì)，考查雙曲線的鳳凰城的求法，以及直線和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，雙曲線的方程的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．