Question

8．已知圓C過點A（1，-3），且與圓M：（x+1）²+y²=r²（r＞0）關(guān)于直線x-y-2=0對稱．
（1）求圓C的標準方程；
（2）設B為圓C上一動點，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓M：（x+1）²+y²=r²（r＞0）的圓心為M（-1，0），設M關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點C（a，b）．則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+a}{2}-\frac{2}-2=0}\\{\frac{a+1}×1=-1}\end{array}\right.$，解出C，進而得到⊙C的半徑r，可得圓C的標準方程．
（2）設B（2+cosθ，-3+sinθ），可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MB}$=（1+cosθ，sinθ）•（3+cosθ，-3+sinθ）=4-$\sqrt{13}$sin（θ-β），即可得出．

解答 解：（1）圓M：（x+1）²+y²=r²（r＞0）的圓心為M（-1，0），設M關(guān)于直線x-y-2=0對稱的點C（a，b）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+a}{2}-\frac{2}-2=0}\\{\frac{a+1}×1=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴C（2，-3），可得⊙C的半徑r=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-3+3）^{2}}$=1，
∴圓C的標準方程為（x-2）²+（y+3）²=1．
（2）設B（2+cosθ，-3+sinθ），
則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MB}$=（1+cosθ，sinθ）•（3+cosθ，-3+sinθ）
=（1+cosθ）（3+cosθ）+sinθ（-3+sinθ）
=4+3cosθ-2sinθ=4-$\sqrt{13}$sin（θ-β）∈$[4-\sqrt{13}，4+\sqrt{13}]$．

點評 本題考查了圓的標準方程、點關(guān)于直線的對稱點、向量數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．