Question

16．等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₂=2，a₄=$\frac{1}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=-log₂a_n+3，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+$\frac{1}{{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）b_n=-log₂a_n+3=n，可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₂=2，a₄=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}{q}^{3}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a₁=4，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n．
（2）b_n=-log₂a_n+3=n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+$\frac{1}{{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．