Question

已知點(diǎn)M（3，0）和點(diǎn)N（-3，0），直線PM，PN的斜率乘積為常數(shù)a（a≠0），設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，給出以下幾個(gè)命題：
①存在非零常數(shù)a，使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（-4，0），（4，0）距離之和為定值；
②存在非零常數(shù)a，使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（0，-4），（0，4）距離之和為定值；
③不存在非零常數(shù)a，使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（-4，0），（4，0）距離差的絕對(duì)值為定值；
④不存在非零常數(shù)a，使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（0，-4），（0，4）距離差的絕對(duì)值為定值；
其中正確的命題是

 

．（填出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)斜率公式得出

y

x+3

•

y

x-3

=a，得y²=a（x²-9），再分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)P（x，y）
由

y

x+3

•

y

x-3

=a，得y²=a（x²-9），
若a=-1，則方程為x²+y²=9，軌跡為圓（除A B點(diǎn)）；
若-1＜a＜0，方程為

x2

9

+

y2

-9a

=1，軌跡為橢圓（除A B點(diǎn)）
-9a＜9，c=

9+9a

=4，∴a=

7

9

，不符合；
a＜-1，-9a＞9，c=

-9a-9

=4，∴a=-

25

9

，符合，
∴存在非零常數(shù)a，使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（0，-4），（0，4）距離之和為定值；
若a＞0，方程為

x2

9

-

y2

9a

=1，軌跡為雙曲線（除A B點(diǎn)）．c=

9+9a

=4，a=

7

9

，
∴存在非零常數(shù)a，使C上所有點(diǎn)到兩點(diǎn)（-4，0），（4，0）距離差的絕對(duì)值為定值．
④是正確的，不存在，如果曲線是雙曲線時(shí)，焦點(diǎn)一定在x軸上．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．