Question

16．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線E：x²=4$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)重合，且離心率e=$\frac{1}{2}$，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點(diǎn)，由橢圓的離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論直線的斜率不存在和存在，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算可得斜率k，進(jìn)而得到所求直線方程．

解答 解：（1）因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)為$（0，\sqrt{3}）$，
所以$b=\sqrt{3}$，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，所以a=2，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；  
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，
解得$M（1，\frac{3}{2}）$，$N（1，-\frac{3}{2}）$，
此時(shí)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}≠-2$不合題意．
設(shè)直線的方程為y=k（x-1），
則M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）滿足：$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）…（1）\\ 3{x^2}+4{y^2}=12…（2）\end{array}\right.$，
（1）代入（2）得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
則${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
${y_1}•{y_2}={k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）={k^2}[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1）]=\frac{{-9{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{4{k^2}-12-9{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=-2$，
所以$k=±\sqrt{2}$，
所以直線的方程為$y=\sqrt{2}（x-1）$或$y=-\sqrt{2}（x-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．