Question

18．已知在△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sin2B}$．
（1）求證：∠A、∠B、∠C依次成等差數(shù)列；
（2）當(dāng)b=4時，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sin2B}$，利用正弦定理，可得cosB=$\frac{1}{2}$，求出B，即可得出結(jié)論；
（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，求出ac≤16，即可求△ABC的面積的最大值．

解答 （1）證明：∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sin2B}$，
∴1=$\frac{1}{2cosB}$，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
∴A+C=120°，
∴A+C=2B，
∴∠A、∠B、∠C依次成等差數(shù)列；
（2）解：當(dāng)b=4時，16=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，
∴ac≤16，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac≤4$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積的最大值為4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查基本不等式，正確運用正弦定理、余弦定理是關(guān)鍵．