Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinπx-sin（πx+$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求y=f（x）的正零點(diǎn)；   
（2）設(shè)f（x）的所有正零點(diǎn)依次組成數(shù)列{a_n}，數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1-b_n=a_n，n∈N^*，求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角函數(shù)的恒等變換，化簡函數(shù)f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義求得（x）的正零點(diǎn)．
（2）由條件利用累加法求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinπx-sin（πx+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sinπx-sinπxcos$\frac{π}{6}$-cosπxsin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπx-$\frac{1}{2}$cosπx=sin（πx-$\frac{π}{6}$），
令f（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$）=0，求得 πx-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈N，即 x=k+$\frac{1}{6}$，k∈N．
（2）f（x）的所有正零點(diǎn)依次組成數(shù)列{a_n}，則a_n=n-$\frac{5}{6}$，
數(shù)列{b_n}滿足b₁=0，b_n+1-b_n=a_n，n∈N^*，∴b₁=0，b₂-b₁=1-$\frac{5}{6}$，b₃-b₂=2-$\frac{5}{6}$，…b_n-b_n-1=（n-1）-$\frac{5}{6}$，
累加可得 b_n=0+（1-$\frac{5}{6}$）+（2-$\frac{5}{6}$）+…+（n-1-$\frac{5}{6}$）=[1+2+3+…+（n-1）]-（n-1）$\frac{5}{6}$=$\frac{（n-1）•n}{2}$-（n-1）$\frac{5}{6}$=$\frac{{3n}^{2}-8n-5}{6}$，
即b_n=$\frac{{3n}^{2}-8n-5}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)的零點(diǎn)的定義，用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．