Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的極小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)分母不為0，對(duì)數(shù)函數(shù)定義求出f（x）的定義域，進(jìn)而求出a=e的f（x）解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出f（x）的極小值；
（Ⅱ）把導(dǎo)函數(shù)代入g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$，表示出g（x），令g（x）=0，表示出a，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)確定出g（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；
（Ⅲ）對(duì)任意的m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，等價(jià)于f（m）-m＜f（n）-n恒成立（*），設(shè)h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{a}{x}$-x（x＞0），故（*）等價(jià)于h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，進(jìn)而求出a的最小值，確定出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{e}{x}$，則f′（x）=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=e時(shí)，f（x）取得極小值f（e）=lne+$\frac{e}{e}$=2，
∴f（x）的極小值為2；
（Ⅱ）由題設(shè)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x^2}$-$\frac{x}{3}$（x＞0），
令g（x）=0，得a=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），
設(shè)φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x≥0），則φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1是φ（x）的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，
∴x=1也是φ（x）的最大值點(diǎn)，
∴φ（x）的最大值為φ（1）=$\frac{2}{3}$．
又φ（0）=0，結(jié)合y=φ（x）的圖象（如圖所示），可知

①當(dāng)a＞$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；
②當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)（x＞0），
綜上所述，當(dāng)a＞$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；
當(dāng)a=$\frac{2}{3}$或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）對(duì)任意的m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，
等價(jià)于f（m）-m＜f（n）-n恒成立（*），
設(shè)h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{a}{x}$-x（x＞0），
∴（*）等價(jià)于h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{x^2}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
得a≥-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（x＞0）恒成立，
∴a≥$\frac{1}{4}$（對(duì)a=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0僅在x=$\frac{1}{2}$時(shí)成立），
∴a的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．