Question

5．若動(dòng)點(diǎn)P在直線l₁：x-y-2=0上，動(dòng)點(diǎn)Q在直線l₂：x-y-6=0上，設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M（a，b），滿足a²+b²-4a+4b≤0，則a²+b²的取值范圍是（　�。�

• A． [2$\sqrt{2}$，4]
• B． [2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$]
• C． [8，12]
• D． [8，16]

Answer 1

分析 由題意求出M所在的直線方程與圓及內(nèi)部的公共部分，M是一條線段，畫出圖形，通過(guò)a²+b²的幾何意義，求出它的范圍即可．

解答 解：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在直線l₁：x-y-2=0上，
動(dòng)點(diǎn)Q在直線l₂：x-y-6=0上，
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M（a，b），
所以M在直線x-y-4=0，
滿足a²+b²-4a+4b≤0，即為（a-2）²+（b+2）²≤8，
所以M的軌跡是直線x-y-4=0與圓及內(nèi)部的公共部分，M是一條線段，
如圖：a²+b²的幾何意義是坐標(biāo)原點(diǎn)到線段x-y-4=0（0≤x≤4）
的點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)閳A的圖形過(guò)原點(diǎn)，
所以由d=$\frac{|4|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$，
可得a²+b²的最小值為：8，
由（0，0）和（0，-4）的距離為4，
可得a²+b²的最大值為：16，
故a²+b²的取值范圍是[8，16]．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，M表示的線段以及表達(dá)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想計(jì)算能力．