Question

1．設(shè)拋物線y²=8x上有兩點A，B，其焦點為F，滿足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則|AB|=9．

Answer 1

分析 由于$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，可得直線經(jīng)過焦點F（2，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．設(shè)直線AB的方程為：
y=k（x-2）．與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量的坐標(biāo)運算、焦點弦長公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴直線經(jīng)過焦點F（2，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．
設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-2）．
與拋物線方程聯(lián)立，化為k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴x₁-2+2（x₂-2）=0，
∴x₁+2x₂=6，解得x₁=4，x₂=1，k²=8．
∴|AB|=x₁+x₂+p=5+4=9．
故答案為：9．

點評 本題考查了直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量的坐標(biāo)運算、焦點弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．