Question

13．如圖，某小區(qū)有一矩形地塊OABC，其中OC=2，OA=3，單位：百米．已知 O EF是一個游泳池，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊 EF相切于點(diǎn) M的直路l（寬度不計），交線段OC于點(diǎn)D，交線段OA于點(diǎn) N．現(xiàn)以點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段 OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊 EF滿足函數(shù)y=-x²+2（$0≤x≤\sqrt{2}$）的圖象．若點(diǎn) M到y(tǒng)軸距離記為t．
（1）當(dāng)$t=\frac{2}{3}$時，求直路l所在的直線方程；
（2）當(dāng)t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值時多少？

Answer 1

分析 （1）求當(dāng)$t=\frac{2}{3}$ 時，代入函數(shù)y=-x²+2，得M（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{9}$），利用求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式寫切線方程；
（Ⅱ）求出x=t時的拋物線的切線方程，進(jìn)一步求出切線截正方形在直線右上方的長度，利用三角形面積公式寫出面積，得到的面積是關(guān)于t的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析面積函數(shù)在（0＜t＜2）上的極值，進(jìn)而得出地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大值．

解答 解：（1）把$t=\frac{2}{3}$代入函數(shù)y=-x²+2，得M（$\frac{2}{3}$，$\frac{14}{9}$），
∵y'=-2x，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直線方程為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{22}{9}$；
（2）由（1）知，直線的方程為y=-2tx+t²+2，
令y=0，x=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$），令x=0，y=t²+2，
∴$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$）≤2，t²+2≤3，
∴2-$\sqrt{2}$≤t≤1，
∴s_△OND=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$（t+$\frac{2}{t}$）（t²+2）=$\frac{1}{4}$（t³+4t+$\frac{4}{t}$），
令g（t）=$\frac{1}{4}$（t³+4t+$\frac{4}{t}$），
∴g'（t）=$\frac{（{t}^{2}+2）（3{t}^{2}-2）}{4{t}^{2}}$，
當(dāng)t=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，g'（t）=0，
當(dāng)t∈（2-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）時，g'（t）＜0，
當(dāng)t∈（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）時，g'（t）＞0，
g（t）≥g（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{8}{9}\sqrt{6}$，
所以所求面積的最大值為6-$\frac{8}{9}\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．