Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}$+$\frac{mx}{{e}^{x}}$，m∈R．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定m的值，并求此時曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若f（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的定義可得f′（0）=0，求得m=0；再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率和切點，求得切線的方程；
（2）由題意可得f′（x）=$\frac{（4-m）x+m-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$≤0在x≥2上恒成立，即為m≥$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$，令x-1=t（t≥1），即有h（x）=$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$，運用換元法令x-1=t，運用單調(diào)性可得h（x）的最大值，由恒成立思想，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}$+$\frac{mx}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{（4-m）x+m-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
由f（x）在x=0處取得極值，可得f′（0）=0，
即有m=0；
由f′（x）=$\frac{4x-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
可得曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線斜率為k=0，
切點為（2，$\frac{8}{{e}^{2}}$），
可得切線的方程為y=$\frac{8}{{e}^{2}}$；
（2）由f（x）在[2，+∞）上為減函數(shù)，可得
f′（x）=$\frac{（4-m）x+m-2{x}^{2}}{{e}^{x}}$≤0在x≥2上恒成立，
即為m≥$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$，令x-1=t（t≥1），
即有h（x）=$\frac{4x-2{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{4（t+1）-2（t+1）^{2}}{t}$=2（$\frac{1}{t}$-t），
可得2（$\frac{1}{t}$-t）在t≥1上遞減，即有t=1，即x=2時，2（$\frac{1}{t}$-t）取得最大值0．
則m≥0．即m的取值范圍是[0，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和判斷單調(diào)性、極值，考查分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．